5. Modellanpassning med minstakvadratmetoden

Modellanpassning med minstakvadratmetoden

Anpassa en modell till fler mätpunkter än parametrar genom att minimera residualens längd.

Översikt

Kärnan i minstakvadratmetoden

Ett överbestämt system har i allmänhet ingen exakt lösning. Minstakvadratlösningen är den som gör residualvektorn så kort som möjligt, och den uppfyller normalekvationerna.

$A^{T}A\widehat{c}=A^{T}y$

Exempel

Metod och kontroll

Residualvektorn mäter hur väl modellen träffar mätdata. Dess längd är det som minimeras och används för att jämföra modellansatser mot varandra.

$r=y-A\widehat{c},\qquad \|r\|_2=\sqrt{\sum_{i}r_i^{2}}$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Metoden kräver att modellen är linjär i parametrarna, inte i variabeln, vilket är ett vanligt missförstånd. En modell som linjäriserats genom logaritmering minimerar dessutom felet i den logaritmerade storheten och inte i den ursprungliga, så anpassningen blir en annan än den man tror.

Formler i området

Modellansats linjär i parametrarna

y(x)\approx\sum_{j=1}^{m}c_j\varphi_j(x),\qquad A_{ij}=\varphi_j(x_i),\qquad Ac\approx y

Vad gör formeln?: Bygger det överbestämda systemet genom att utvärdera modellens basfunktioner i mätpunkterna.
När får den användas?: Basfunktionerna är kända och parametrarna ingår linjärt; antalet mätpunkter överstiger antalet parametrar.

Normalekvationerna

A^{T}A\widehat{c}=A^{T}y

Vad gör formeln?: Ger det kvadratiska system vars lösning minimerar residualens längd i ett överbestämt system.
När får den användas?: Kolumnerna i A är linjärt oberoende, vilket gör produkten inverterbar och minstakvadratlösningen entydig.

Residualvektor och minstakvadratfel

r=y-A\widehat{c},\qquad \|r\|_2=\sqrt{\sum_{i}r_i^{2}}

Vad gör formeln?: Mäter avvikelsen mellan mätdata och anpassad modell, punkt för punkt och sammanfattat i en norm.
När får den användas?: Residualen beräknas med den anpassade parametervektorn och har en komponent per mätpunkt.

Linjarisering av exponentiell modell

y=Ce^{kx}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln y=\ln C+kx

Vad gör formeln?: Logaritmerar en exponentiell modell så att parametrarna ingår linjärt och kan anpassas med normalekvationerna.
När får den användas?: Kräver positiva mätvärden, eftersom logaritmen annars inte är definierad.

Kan du använda modellanpassning med minstakvadratmetoden?

Lös en riktig tentauppgift från SF1547 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift