4. Interpolation

Interpolation

Lägg ett polynom genom givna punkter, välj punkter med omdöme och håll isär interpolation från anpassning.

Översikt

Kärnan i interpolation

Kravet att polynomet ska gå genom varje punkt ger ett linjärt ekvationssystem i koefficienterna. Med potensbasen blir systemmatrisen en Vandermondematris.

$p(x_i)=y_i,\quad i=0,\dots,n\qquad\Rightarrow\qquad \deg p\le n$

Exempel

Metod och kontroll

Newtons ansats bygger polynomet stegvis och ger ett triangulärt system, vilket gör det billigt att lägga till ytterligare en punkt.

$p(x)=c_1+c_2(x-x_1)+c_3(x-x_1)(x-x_2)+\cdots$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Ett polynom av hög grad genom många punkter svänger kraftigt mellan dem, så fler punkter ger inte automatiskt ett bättre resultat. Interpolation nära den sökta punkten är noggrannare än interpolation över hela tabellen, och Vandermondematrisen blir illakonditionerad när gradtalet växer.

Formler i området

Interpolationsvillkor och gradtal

p(x_i)=y_i,\quad i=0,\dots,n\qquad\Rightarrow\qquad \deg p\le n

Vad gör formeln?: Kopplar antalet datapunkter till interpolationspolynomets gradtal och storleken på ekvationssystemet.
När får den användas?: Punkterna har olika x-värden; då finns exakt ett polynom av grad högst n som uppfyller villkoren.

Vandermondesystemet

\begin{pmatrix}1 & x_0 & \cdots & x_0^{n}\\ 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_0\\ c_1\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_n\end{pmatrix}

Vad gör formeln?: Skriver interpolationsvillkoren i monombasen som ett linjärt system för polynomets koefficienter.
När får den användas?: Matrisen är inverterbar när x-värdena är parvis olika, men blir illakonditionerad för många punkter.

Newtons interpolationsansats

p(x)=c_1+c_2(x-x_1)+c_3(x-x_1)(x-x_2)+\cdots

Vad gör formeln?: Bygger interpolationspolynomet stegvis så att koefficienterna kan lösas ut en i taget.
När får den användas?: Punkterna numreras i den ordning de sätts in; varje ny term försvinner i alla tidigare punkter.

Linjär interpolation

p(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)

Vad gör formeln?: Drar en rät linje mellan två mätpunkter och läser av värdet däremellan.
När får den användas?: Punkten x ligger mellan de två mätpunkterna; utanför intervallet blir det extrapolation.

Kan du använda interpolation?

Lös en riktig tentauppgift från SF1547 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift