1. Grundbegrepp och felanalys

Grundbegrepp och felanalys

Bedöm hur tillförlitligt ett numeriskt svar är: hur indatafel fortplantar sig och hur diskretiseringsfelet beror på steglängden.

Översikt

Kärnan i felanalys

Ett numeriskt svar är aldrig bättre än sina indata. Felfortplantningsformeln viktar varje indatafel med hur känsligt resultatet är för just den storheten.

$E_y \approx \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right| E_{x_i}$

Exempel

Metod och kontroll

Diskretiseringsfelet avtar som en potens av steglängden. Ordningen går att mäta genom att halvera steget och se hur mycket felet minskar.

$E(h)\approx Ch^{p},\qquad \frac{E(h)}{E(h/2)}\approx 2^{p}$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Indatafel och diskretiseringsfel är två skilda felkällor, och det hjälper inte att förfina steget när indata är det som begränsar. Relativa och absoluta fel förväxlas lätt, och antalet korrekta decimaler följer av det absoluta felet medan antalet värdesiffror följer av det relativa.

Formler i området

Absolut och relativt fel

|\Delta x|=|\tilde{x}-x|,\qquad |\delta x|=\frac{|\tilde{x}-x|}{|x|}

Vad gör formeln?: Mäter felet i en approximation både i absoluta tal och i förhållande till storleken.
När får den användas?: Det exakta värdet betecknas x och approximationen x̃; det relativa felet kräver att x inte är noll.

Felfortplantningsformeln

E_y \approx \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right| E_{x_i}

Vad gör formeln?: Felgränsen i resultatet är summan av varje indatafels bidrag, viktat med hur känsligt resultatet är för den storheten.
När får den användas?: Felen i indata är små och funktionen är deriverbar i den aktuella punkten.

Noggrannhetsordning

E(h)\approx Ch^{p},\qquad \frac{E(h)}{E(h/2)}\approx 2^{p}

Vad gör formeln?: Beskriver hur snabbt diskretiseringsfelet krymper när steglängden halveras.
När får den användas?: Steglängden är så liten att den ledande feltermen dominerar, men inte så liten att avrundningsfel tar över.

Konvergensordning för en iteration

|e_{n+1}|\approx C|e_n|^{p},\qquad e_n=x_n-\alpha

Vad gör formeln?: Beskriver hur snabbt felet i en iterationsföljd minskar från ett steg till nästa.
När får den användas?: Gäller lokalt nära roten α och för tillräckligt stora iterationsnummer.

Felskattning ur successiva approximationer

E(h)\approx|F(h)-F(h/2)|

Vad gör formeln?: Skattar felet i en approximation med skillnaden till nästa förfining, när det exakta värdet saknas.
När får den användas?: Kräver att metoden konvergerar och att den finare approximationen är klart noggrannare än den grövre.

Antal korrekta decimaler

|\tilde{x}-x|\le\tfrac{1}{2}\cdot 10^{-d}

Vad gör formeln?: Översätter en felgräns till hur många decimaler som kan anges med säkerhet.
När får den användas?: Gäller när felgränsen avser avrundning till d decimaler i det aktuella talet.

Kan du använda grundbegrepp och felanalys?

Lös en riktig tentauppgift från SF1547 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift