Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
6. Numerisk derivering och integration

Numerisk derivering och integration

Skatta derivator med differenskvoter och integraler med trapetsregeln eller Simpsons regel, och förbättra svaret med Richardsonextrapolation.

Översikt

Kärnan i numerisk derivering och integration

Trapetsregeln ersätter funktionen med räta linjer mellan mätpunkterna och summerar trapetsernas areor, vilket ger ett fel av andra ordningen i steglängden.

T(h)=h2(f(x0)+2∑k=1n−1f(xk)+f(xn))T(h)=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(x_n)\right)

Exempel

Metod och kontroll

Två skattningar med olika steglängd kan kombineras så att den ledande feltermen tar ut sig, vilket ger ett betydligt noggrannare värde utan nya funktionsvärden.

F^=2pF(h/2)−F(h)2p−1\widehat{F}=\frac{2^{p}F(h/2)-F(h)}{2^{p}-1}

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Extrapolationen kräver att rätt noggrannhetsordning används; med ordningen fyra i stället för två blir vikterna fel och resultatet sämre än den bästa ursprungliga skattningen. Skillnaden mellan de två sista värdena är dessutom en rimlig felgräns för det extrapolerade svaret, inte för det grövre.

Formler i området

Centrala differenskvoten

f′(x)=f(x+h)−f(x−h)2h+O(h2)f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^{2})
Vad gör formeln?
Skattar derivatan med en symmetrisk differens och har noggrannhetsordning två.
När får den användas?
Kräver funktionsvärden symmetriskt på båda sidor om punkten och att f är tillräckligt många gånger deriverbar.

Trapetsregeln

T(h)=h2(f(x0)+2∑k=1n−1f(xk)+f(xn))T(h)=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(x_n)\right)
Vad gör formeln?
Approximerar integralen med trapetser under den styckvis linjära interpolanten.
När får den användas?
Intervallet delas i n lika stora delintervall med steglängden h mellan punkterna.

Trapetsregelns felterm

I−T(h)=−(b−a)h212f′′(ξ)=O(h2)I-T(h)=-\frac{(b-a)h^{2}}{12}f''(\xi)=O(h^{2})
Vad gör formeln?
Visar att trapetsregelns fel är av andra ordningen och beror på funktionens krökning.
När får den användas?
f är två gånger kontinuerligt deriverbar på intervallet; ξ är en okänd punkt i intervallet.

Simpsons regel

S(h)=h3(f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn)S(h)=\frac{h}{3}\left(f_0+4f_1+2f_2+\cdots+4f_{n-1}+f_n\right)
Vad gör formeln?
Väger punkterna växelvis fyra och två och når noggrannhetsordning fyra med samma funktionsvärden.
När får den användas?
Antalet delintervall är jämnt och f_k betecknar funktionsvärdet i punkt k; regeln integrerar den styckvis kvadratiska interpolanten och har ordning fyra.

Richardsonextrapolation

F^=2pF(h/2)−F(h)2p−1,T^=4T(h/2)−T(h)3\widehat{F}=\frac{2^{p}F(h/2)-F(h)}{2^{p}-1},\qquad \widehat{T}=\frac{4T(h/2)-T(h)}{3}
Vad gör formeln?
Kombinerar två skattningar med olika steglängd så att den ledande feltermen tar ut sig.
När får den användas?
Metoden har känd noggrannhetsordning p och steglängden halveras mellan de två skattningarna.

Hänger ihop med

Kan du använda numerisk derivering och integration?

Lös en riktig tentauppgift från SF1522 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift