Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
5. Interpolation

Interpolation

Lägg en kurva exakt genom givna punkter med Newtons ansats eller ett Vandermondesystem, och välj gradtal med Runges fenomen i åtanke.

Översikt

Kärnan i interpolation

Genom punkter med olika x-värden går exakt ett polynom av tillräckligt lågt gradtal, och det är detta villkor som ger ekvationssystemet för koefficienterna.

p(xi)=yi,i=0,…,n⇒deg⁡p≤np(x_i)=y_i,\quad i=0,\dots,n\qquad\Rightarrow\qquad \deg p\le n

Exempel

Metod och kontroll

Newtons ansats bygger polynomet stegvis med faktorer som försvinner i tidigare punkter, vilket ger ett triangulärt system i stället för ett fullt.

p(x)=c1+c2(x−x1)+c3(x−x1)(x−x2)+⋯p(x)=c_1+c_2(x-x_1)+c_3(x-x_1)(x-x_2)+\cdots

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Ett högre gradtal ger inte automatiskt en bättre kurva. Med många jämnt fördelade punkter svänger interpolationspolynomet kraftigt nära intervallets ändar, och en styckvis metod med lågt gradtal är då pålitligare än ett enda polynom genom samtliga punkter.

Formler i området

Interpolationsvillkor och gradtal

p(xi)=yi,i=0,…,n⇒deg⁡p≤np(x_i)=y_i,\quad i=0,\dots,n\qquad\Rightarrow\qquad \deg p\le n
Vad gör formeln?
Kopplar antalet datapunkter till interpolationspolynomets gradtal och storleken på ekvationssystemet.
När får den användas?
Punkterna har olika x-värden; då finns exakt ett polynom av grad högst n som uppfyller villkoren.

Vandermondesystemet

(1x0⋯x0n1x1⋯x1n⋮⋮⋮1xn⋯xnn)(c0c1⋮cn)=(y0y1⋮yn)\begin{pmatrix}1 & x_0 & \cdots & x_0^{n}\\ 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_0\\ c_1\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_n\end{pmatrix}
Vad gör formeln?
Skriver interpolationsvillkoren i monombasen som ett linjärt system för polynomets koefficienter.
När får den användas?
Matrisen är inverterbar när x-värdena är parvis olika, men blir illakonditionerad för många punkter.

Newtons interpolationsansats

p(x)=c1+c2(x−x1)+c3(x−x1)(x−x2)+⋯p(x)=c_1+c_2(x-x_1)+c_3(x-x_1)(x-x_2)+\cdots
Vad gör formeln?
Bygger interpolationspolynomet stegvis så att koefficienterna kan lösas ut en i taget.
När får den användas?
Punkterna numreras i den ordning de sätts in; varje ny term försvinner i alla tidigare punkter.

Linjär interpolation

p(x)=y1+y2−y1x2−x1(x−x1)p(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)
Vad gör formeln?
Drar en rät linje mellan två mätpunkter och läser av värdet däremellan.
När får den användas?
Punkten x ligger mellan de två mätpunkterna; utanför intervallet blir det extrapolation.

Hänger ihop med

Kan du använda interpolation?

Lös en riktig tentauppgift från SF1522 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift