Operationsförstärkare, klippning och filter

En operationsförstärkare har två ingångar, en inverterande (−) och en icke-inverterande (+), och förstärker skillnaden mellan dem med en mycket hög egen förstärkning. Den används nästan alltid med negativ återkoppling, där en del av utsignalen förs tillbaka till den inverterande ingången. Utgången ställer då in sig tills spänningen mellan ingångarna är praktiskt taget noll, och ingångarna drar praktiskt taget ingen ström. Förstärkningen sätts därför av motstånden runt förstärkaren och inte av dess egen förstärkning. I den icke-inverterande kopplingen ligger insignalen på + ingången, återkopplingsresistorn $R_f$ går från utgången till − ingången och $R_g$ från − ingången till jord. Spänningen på − ingången är lika med insignalen, och $R_f$ och $R_g$ bildar en spänningsdelare från utgången, vilket ger $U_{ut} = \left(1 + \dfrac{R_f}{R_g}\right) U_{in}$. Utsignalen har samma tecken som insignalen, och förstärkningen är alltid minst 1. I den inverterande kopplingen ligger + ingången på jord och insignalen går via $R_{in}$ till − ingången, och då blir $U_{ut} = -\dfrac{R_f}{R_{in}}\,U_{in}$, så utsignalen byter tecken. Figurerna i en uppgift kan döpa motstånden annorlunda, så avgör vilket motstånd som är vilket utifrån var det sitter. Ligger flera motstånd parallellt är det deras ersättningsresistans som ska användas: $R_p = \dfrac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b}$.

Operationsförstärkaren kan inte ge en utspänning utanför sina matningsspänningar. Räknar man med förstärkningsformeln och får ett värde utanför intervallet mellan den negativa matningsspänningen $U_{-}$ och den positiva $U_{+}$, klipps utsignalen och stannar vid gränsen: $U_{ut} = \min\!\big(\max(A\,u_{in},\,U_{-}),\,U_{+}\big)$. Uppgifter antar oftast att förstärkaren klipper exakt vid matningsspänningen, medan riktiga förstärkare ofta stannar en eller ett par volt innan. Matningsspänningarna behöver inte vara lika stora. Med olika belopp klipper utsignalen vid olika nivåer åt de två hållen, så man måste jämföra med rätt gräns beroende på signalens tecken. Räkna därför först fram det oklippta värdet med förstärkningen och jämför det sedan med gränserna. Förstärkningen bestäms fortfarande av motstånden, men utsignalen följer den bara så länge den ryms inom intervallet.

Förstärkningen $A = \dfrac{U_{ut}}{U_{in}}$ är ett förhållande utan enhet. Eftersom förstärkningar sträcker sig över många storleksordningar anger man dem ofta i decibel. För spänningar och strömmar är $A_{dB} = 20 \log_{10}\!\left(\dfrac{U_{ut}}{U_{in}}\right)$, där logaritmen är tiologaritmen och inte den naturliga. För effekter används i stället tio gånger logaritmen, $A_{dB} = 10 \log_{10}\!\left(\dfrac{P_{ut}}{P_{in}}\right)$, eftersom effekten är proportionell mot spänningens kvadrat. Därför är faktorn 20 för spänning och 10 för effekt. Förstärkningen 1 ger 0 dB, en förstärkning över 1 ger ett positivt värde, och en dämpning, ett förhållande under 1, ger ett negativt värde. Varje tiofaldigande av spänningsförhållandet lägger till 20 dB, och en fördubbling ger drygt 6 dB. Kopplas förstärkare efter varandra multipliceras förstärkningarna medan decibelvärdena adderas. För att gå från decibel tillbaka till ett förhållande används $\dfrac{U_{ut}}{U_{in}} = 10^{A_{dB}/20}$.

Kondensatorns reaktans $|X_C| = \dfrac{1}{\omega C}$ avtar med frekvensen. Vid mycket låg frekvens är den mycket stor och kondensatorn beter sig som ett avbrott, vid mycket hög frekvens är den mycket liten och kondensatorn beter sig som en kortslutning. Förstärkningen kan skrivas med impedanser, $A = 1 + \dfrac{Z_f}{Z_g}$, där $Z_f$ är impedansen i återkopplingsgrenen och $Z_g$ i grenen mot jord. Man får förstärkningen i de två ytterlägena genom att byta ut kondensatorn mot ett avbrott respektive en kortslutning och räkna som vanligt. Ligger kondensatorn parallellt med $R_f$ är den ett avbrott vid låg frekvens, så förstärkningen är $A = 1 + \dfrac{R_f}{R_g}$, och en kortslutning vid hög frekvens, som kortsluter $R_f$ och ger förstärkningen 1, alltså 0 dB. Det är ett lågpassfilter, som släpper igenom låga frekvenser med full förstärkning. Ligger kondensatorn i serie med $R_g$ är den ett avbrott vid låg frekvens, så ingen ström går i grenen mot jord och förstärkningen är 1, och en kortslutning vid hög frekvens, så förstärkningen blir $A = 1 + \dfrac{R_f}{R_g}$. Det är ett högpassfilter. Övergången sker kring brytfrekvensen $f_b = \dfrac{1}{2\pi R C}$, där C är kondensatorns kapacitans och R det motstånd som kondensatorn ligger parallellt med ($R_f$) respektive i serie med ($R_g$). Ett passivt RC-filter dämpar ner mot noll i det ena ytterläget, men här planar förstärkningen ut på 1, eftersom insignalen alltid kommer fram på + ingången. Ett enda kondensatorsteg ger bara lågpass eller högpass; ett bandpassfilter, som släpper igenom ett band, eller ett bandspärrfilter, som dämpar ett band, kräver minst två reaktiva komponenter.

En icke-inverterande förstärkare har $R_f = 24\ \mathrm{k}\Omega,\ R_g = 4\ \mathrm{k}\Omega$. Parallellt med $R_g$ kan en omkopplare koppla in ytterligare 12 kΩ, och förstärkaren matas med +9 V och −3 V. Med öppen omkopplare är förstärkningen $A = 1 + \dfrac{24}{4} = 7$. Med sluten omkopplare blir ersättningsresistansen $R_p = \dfrac{4 \cdot 12}{4 + 12} = 3\ \mathrm{k}\Omega$ och förstärkningen $A = 1 + \dfrac{24}{3} = 9$. Med öppen omkopplare och insignalen 1.0 V blir det oklippta värdet $7 \cdot 1.0 = 7.0\ \mathrm{V}$, som ryms inom −3 V till 9 V och därför blir utsignalen. Med insignalen 1.5 V blir det oklippta värdet $7 \cdot 1.5 = 10.5\ \mathrm{V}$, men utsignalen klipps vid +9 V. Med insignalen −0.7 V blir det oklippta värdet $7 \cdot (-0.7) = -4.9\ \mathrm{V}$, och utsignalen klipps vid −3 V eftersom det är den negativa matningen som gäller för negativa signaler. Med sluten omkopplare och insignalen 0.8 V blir utsignalen $9 \cdot 0.8 = 7.2\ \mathrm{V}$.

Förstärkningen 7 från föregående exempel är $20\log_{10} 7 \approx 16.9\ \mathrm{dB}$, och förstärkningen 9 är $20\log_{10} 9 \approx 19.1\ \mathrm{dB}$. Omvänt motsvarar 13 dB spänningsförhållandet $10^{13/20} \approx 4.47$, och ett effektförhållande på 50 är $10\log_{10} 50 \approx 17.0\ \mathrm{dB}$. Ett lågpassfilter har $R_f = 68\ \mathrm{k}\Omega,\ R_g = 10\ \mathrm{k}\Omega$ och kondensatorn 33 nF parallellt med $R_f$. Vid låg frekvens är förstärkningen $A = 1 + \dfrac{68}{10} = 7.8$, alltså 17.8 dB, och vid hög frekvens $A = 1$, alltså 0 dB. Brytfrekvensen blir $f_b = \dfrac{1}{2\pi \cdot 68 \cdot 10^{3} \cdot 33 \cdot 10^{-9}} \approx 71\ \mathrm{Hz}$. Vid själva brytfrekvensen har förstärkningen bara minskat till 5.6 gånger, 14.9 dB, och en dekad högre upp, vid 710 Hz, är den fortfarande 1.26 gånger, 2.0 dB. Först långt över brytfrekvensen kan man räkna med 1. Ett högpassfilter har $R_f = 39\ \mathrm{k}\Omega,\ R_g = 3\ \mathrm{k}\Omega$ och kondensatorn 470 nF i serie med $R_g$. Vid låg frekvens är förstärkningen $A = 1$, alltså 0 dB, och vid hög frekvens $A = 1 + \dfrac{39}{3} = 14$, alltså 22.9 dB, med brytfrekvensen $f_b = \dfrac{1}{2\pi \cdot 3 \cdot 10^{3} \cdot 470 \cdot 10^{-9}} \approx 113\ \mathrm{Hz}$.

En töjningsgivare är en tunn metalltråd i ett mönster som limmas på ett föremål. När föremålet töjs ändras trådens längd och tvärsnitt, och därmed resistansen: $R = R_0\,(1 + k \cdot \varepsilon)$. Här är $R_0$ resistansen utan töjning, ofta 120 Ω eller 350 Ω, $\varepsilon$ töjningen, alltså den relativa längdändringen, och k givarens känslighet, som är omkring 2 för metalltråd. Ändringen är bråkdelar av en procent och mäts med en Wheatstonebrygga. Den består av två spänningsdelare från samma matning $U_s$, och utspänningen mäts mellan deras mittpunkter: $U_{ut} = U_s\left(\dfrac{R_2}{R_1+R_2} - \dfrac{R_4}{R_3+R_4}\right)$. Här ligger $R_1$ över $R_2$ i den ena grenen och $R_3$ över $R_4$ i den andra. Om $\dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{R_4}{R_3}$ ligger mittpunkterna på samma spänning, bryggan är balanserad och utspänningen är noll, så när ett motstånd byts mot en töjningsgivare är det bara töjningen som rubbar balansen. Är alla fyra motstånd lika och ett av dem ändras med faktorn $1 + x$, blir utspänningens belopp $|U_{ut}| = U_s\,\dfrac{x}{2\,(2 + x)}$. Ett exempel: alla motstånd är 350 Ω, matningen är 12 V, givaren sitter som $R_2$, och för den gäller $k = 2.1,\ \varepsilon = 600\ \mu\mathrm{m/m}$. Då är $x = k\varepsilon = 2.1 \cdot 600 \cdot 10^{-6} = 1.26 \cdot 10^{-3}$, givarens resistans $R_2 = 350\,(1 + 1.26 \cdot 10^{-3}) \approx 350.4\ \Omega$ och utspänningen $U_{ut} = 12 \cdot \dfrac{1.26 \cdot 10^{-3}}{2\,(2 + 1.26 \cdot 10^{-3})} \approx 3.778\ \mathrm{mV}$, nära närmevärdet $\dfrac{U_s\,k\,\varepsilon}{4} = 3.780\ \mathrm{mV}$. Signalen är liten och sitter dessutom på en gemensam nivå som är halva matningsspänningen, så den förstärks av en differensförstärkare. Förstärkningen 500 gånger, 54 dB, ger $500 \cdot 3.778\ \mathrm{mV} \approx 1.89\ \mathrm{V}$ till A/D-omvandlaren.

Sex fel upprepas. Det första gäller den icke-inverterande kopplingen, där förstärkningen är $1 + \dfrac{R_f}{R_g}$ och inte $\dfrac{R_f}{R_g}$. Kvoten ensam hör till den inverterande kopplingen, och får man en förstärkning under 1 med den icke-inverterande kopplingen har man glömt ettan. Det andra är att addera parallella motstånd eller bara räkna med ett av dem. Ersättningsresistansen är alltid mindre än det minsta av motstånden. Det tredje är att glömma att jämföra med matningsspänningarna, eller att klippa symmetriskt fast matningen inte är symmetrisk. Svaret får aldrig ligga utanför intervallet. Det fjärde är att blanda ihop decibelformlerna, med faktor 20 för spänning och 10 för effekt, eller att använda den naturliga logaritmen; en kvot under 1 ger ett negativt värde, inte ett positivt. Det femte gäller filtertypen. Gissa den inte, utan byt kondensatorn mot avbrott vid låg frekvens och kortslutning vid hög, räkna förstärkningen i båda lägena och se vilket läge som har störst förstärkning. En kondensator i serie med $R_g$ släpper igenom höga frekvenser med full förstärkning. Det sjätte är att tro att förstärkningen går ner till noll: i de här filtren planar den ut på 1, det vill säga 0 dB, och vid brytfrekvensen har den inte nått ytterläget än. Mycket hög frekvens betyder långt över brytfrekvensen.