Likströmsmotorn och motordrift

I en likströmsmotors ankare induceras en motspänning, EMK, som är proportionell mot rotorns vinkelhastighet: $E = k_2\Phi \cdot \omega$. Konstanten k₂Φ beror på motorns lindning och det magnetiska flödet Φ från fältet, och räknas i praktiken som en enda konstant för en given motor med fast flöde. Vinkelhastigheten ω, i radianer per sekund, hänger ihop med varvtalet n i varv per minut genom $\omega = \dfrac{2\pi n}{60}$, så ett varvtal i rpm måste räknas om innan det sätts in i EMK-formeln.

Det elektriskt utvecklade momentet i ankaret är proportionellt mot ankarströmmen, med exakt samma konstant k₂Φ som i EMK-formeln: $M = k_2\Phi \cdot I_a$. Att det är samma konstant i båda sambanden är inget sammanträffande, utan följer av att den elektriska effekten som omvandlas, E·I_a, måste vara lika med den mekaniska effekten M·ω: $E \cdot I_a = M \cdot \omega$; sätts de två formlerna in i det villkoret framgår att konstanten måste vara densamma.

Ankarkretsen består av EMK:n i serie med ankarets egen resistans R_a, och den spänning som matas in på motorns klämmor måste täcka båda: $U = E + I_a \cdot R_a$. Vid start, när rotorn ännu står stilla och E = 0, bärs hela spänningen av R_a, vilket ger en startström som kan bli mycket större än driftströmmen om inte något begränsar den.

Vid tomgång är belastningsmomentet så litet att ankarströmmen nästan är noll, så i spänningsekvationen försvinner spänningsfallet över R_a och klämspänningen blir ungefär lika med EMK: $U \approx E$. En motor med k₂Φ = 0.80 V·s/rad ansluten till U = 24 V får då tomgångens vinkelhastighet $\omega_0 = \dfrac{U}{k_2\Phi} = \dfrac{24}{0.80} = 30\ \mathrm{rad/s}$, vilket motsvarar varvtalet $n_0 = \dfrac{60\cdot30}{2\pi} \approx 286\ \mathrm{rpm}$.

Verkningsgraden ställer den mekaniska uteffekten mot den elektriska ineffekten: $\eta = \dfrac{P_{mek}}{P_{el}} = \dfrac{E}{U}$. En motor med U = 24 V och I_a = 2.0 A genom en ankarresistans R_a = 1.0 Ω har EMK $E = 24 - 2.0\cdot1.0 = 22\ \mathrm{V}$, vilket ger verkningsgraden $\eta = \dfrac{22}{24} \approx 0.917$, det vill säga ungefär 92 %. Skillnaden mellan in- och uteffekt, $I_a^2 \cdot R_a = 2.0^2\cdot1.0 = 4.0\ \mathrm{W}$, är precis den förlust som går åt i ankarresistansen.

Ska rotorn accelereras krävs ett extra moment utöver det som bär upp lasten, proportionellt mot rotorns tröghetsmoment J och vinkelaccelerationen: $M_{acc} = J \cdot \dfrac{d\omega}{dt}$. En rotor med J = 0.02 kg·m² som accelereras från stillastående till 300 rad/s på 0.5 s behöver $M_{acc} = 0.02 \cdot \dfrac{300}{0.5} = 12\ \mathrm{N \cdot m}$ utöver lastmomentet. Växlar motorn i stället mellan flera moment under en arbetscykel, till exempel M₁ = 5 N·m under t₁ = 2 s, M₂ = 8 N·m under t₂ = 1 s och M₃ = 2 N·m under t₃ = 3 s, ersätts hela cykeln med ett ekvivalent moment som ger samma värmeutveckling över tiden: $M_{ekv} = \sqrt{\dfrac{M_1^2t_1+M_2^2t_2+M_3^2t_3}{t_1+t_2+t_3}}$ = $\sqrt{\dfrac{126}{6}} \approx 4.6\ \mathrm{N \cdot m}$.

Motorns temperatur under drift följer samma slags exponentiella förlopp som spänningen i en RC-krets, med den termiska tidskonstanten $\tau_{th} = C_{th} \cdot R_{th}$, där C_th är den termiska kapacitansen (motorns förmåga att lagra värme) och R_th den termiska resistansen ut mot omgivningen. En motor med R_th = 2.0 K/W och C_th = 900 J/K får $\tau_{th} = 2.0\cdot900 = 1800\ \mathrm{s} = 30\ \mathrm{min}$, det vill säga 30 minuter, vilket är den tid det tar att nå ungefär 63 % av den slutliga temperaturhöjningen efter att motorn belastats konstant.

Två fel är vanliga. Det första är att sätta in varvtalet n i rpm direkt i EMK- eller momentformeln utan att först räkna om det till vinkelhastigheten ω i rad/s genom $\omega = \dfrac{2\pi n}{60}$; konstanten k₂Φ är definierad för rad/s, så ett glömt steg ger ett svar som är en faktor 2π/60 fel. Det andra är att räkna fram ett ekvivalent moment som det vanliga aritmetiska medelvärdet av momenten i arbetscykeln i stället för ett kvadratiskt viktat medelvärde; eftersom värmeutvecklingen i motorn växer med momentets kvadrat straffar ett kort men kraftigt moment motorn mer än det aritmetiska medelvärdet visar.