Polynom och gaussiska heltal

Över en kropp kan ett polynom divideras med ett icke-nollpolynom med entydig kvot och rest av mindre grad. Ett nollställe ger en linjär faktor. Gaussiska heltal är komplexa tal med heltalig real- och imaginärdel. Normen är summan av delarnas kvadrater och är multiplikativ, vilket ger nödvändiga villkor för delbarhet.

$$\mathbb Z[i]=\{a+bi:a,b\in\mathbb Z\},\qquad N(a+bi)=a^2+b^2,\qquad N(zw)=N(z)N(w)$$

Fem är ett primtal bland de vanliga heltalen men kan delas upp i två icke-enheter bland de gaussiska heltalen. Faktorerna är komplexkonjugerade och båda har norm fem. Eftersom normen fem är ett vanligt primtal kan ingen av faktorerna delas upp ytterligare i två icke-enheter.

$$5=(2+i)(2-i),\qquad N(2+i)=N(2-i)=5$$

Ett polynom kan vara irreducibelt över en kropp men reducibelt över en större. Exempelvis saknar ett kvadratiskt polynom med negativa diskriminanten reella rötter men kan ha komplexa rötter. På samma sätt beror primalitet på den ring där man arbetar. De gaussiska enheterna har norm ett och är ett, minus ett, i och minus i; multiplikation med en enhet ger associerade faktorer, inte en ny väsentlig faktorisering.

$$x^2+1=(x-i)(x+i)\quad\text{i }\mathbb C[x]$$