Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
6. Permutationer och grupper

Permutationer och grupper

Studera symmetrier med cykler, , undergrupper och sidoklasser.

Översikt

Cykler gör permutationens verkan synlig

En permutation är en av en mängd till sig själv. Följ ett elements bilder tills det första elementet återkommer; det ger en cykel. Upprepa med ett oanvänt element. Disjunkta cykler kommuterar och deras längder avgör permutationens : alla måste samtidigt ha kommit tillbaka till utgångsläget.

ord⁡(π)=lcm⁡(ℓ1,…,ℓr)\operatorname{ord}(\pi)=\operatorname{lcm}(\ell_1,\ldots,\ell_r)

Exempel

Exempel: cykler, potenser och paritet

Permutationen består av en trecykel och en transposition på disjunkta element. Ordningen är sex. Vid den sjunde potensen blir respektive exponent rest ett tre och två, så permutationen återkommer. Trecykeln är jämn, transpositionen udda och hela permutationen udda.

π=(1 4 2)(3 5),π6=id,π7=π,sgn⁡(π)=(−1)2+1=−1\pi=(1\ 4\ 2)(3\ 5),\quad\pi^6=\mathrm{id},\quad\pi^7=\pi,\quad\operatorname{sgn}(\pi)=(-1)^{2+1}=-1

Fördjupning

Sidoklasser har samma storlek som undergruppen

Multiplikation med ett fixerat gruppelement är en från undergruppen till en . Klasserna delar därför en ändlig grupp i lika stora delar, vilket ger Lagranges sats. En kvotgrupp kräver dessutom en ; i en abelsk grupp är varje normal. Lagranges sats säger att elementordningen delar gruppordningen, men säger inte att varje måste förekomma som .

∣G∣=[G:H] ∣H∣,ord⁡Zn(a)=ngcd⁡(n,a)|G|=[G:H]\,|H|,\qquad\operatorname{ord}_{\mathbb Z_n}(a)=\frac n{\gcd(n,a)}

Formler i området

av en permutation

ord⁡(π)=lcm⁡(ℓ1,…,ℓr)\operatorname{ord}(\pi)=\operatorname{lcm}(\ell_1,\ldots,\ell_r)
Vad gör formeln?
Alla cykler måste samtidigt återgå till utgångsläget.
När får den användas?
Längderna kommer från permutationens disjunkta cykler.

Tecknet hos en permutation

sgn⁡(π)=(−1)∑j(ℓj−1)\operatorname{sgn}(\pi)=(-1)^{\sum_j(\ell_j-1)}
Vad gör formeln?
Avgör om permutationen är jämn eller udda.
När får den användas?
Cyklerna är disjunkta. Fixpunkter ger exponentbidrag noll.

Lagranges sats

∣G∣=[G:H] ∣H∣|G|=[G:H]\,|H|
Vad gör formeln?
Sidoklasser delar gruppen i lika stora delar.
När får den användas?
Gruppen är ändlig och mängden är en .

i en additiv restklassgrupp

ord⁡Zn(a)=ngcd⁡(n,a)\operatorname{ord}_{\mathbb Z_n}(a)=\frac{n}{\gcd(n,a)}
Vad gör formeln?
Finner antalet additioner som krävs för att återkomma till noll.
När får den användas?
Gruppoperationen är addition ett positivt heltal.

Hänger ihop med

Kan du använda permutationer och grupper?

Lös en riktig tentauppgift från SF1662 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift