4. Minstakvadratmetoden

Minstakvadratmetoden

Anpassa en modell till mätdata genom ett överbestämt system, normalekvationerna och residualens norm, vid behov efter linjarisering.

Översikt

Kärnan i minstakvadratmetoden

Fler mätpunkter än parametrar ger ett överbestämt system som saknar exakt lösning. Minstakvadratlösningen minimerar residualens längd och fås ur normalekvationerna.

$A^{T}A\widehat{c}=A^{T}y$

Exempel

Metod och kontroll

Ställ upp matrisen ur modellens basfunktioner utvärderade i mätpunkterna, lös normalekvationerna och mät anpassningens kvalitet med residualvektorn.

$A_{ij}=\varphi_j(x_i),\qquad r=y-A\widehat{c}$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Modellen måste vara linjär i parametrarna, inte i variabeln: en andragradsterm eller en inverterad term är oproblematisk, medan en exponent som ska bestämmas kräver linjarisering först. Efter en logaritmering minimeras dessutom felet i det transformerade måttet, vilket inte är exakt samma sak som i det ursprungliga.

Formler i området

Modellansats linjär i parametrarna

y(x)\approx\sum_{j=1}^{m}c_j\varphi_j(x),\qquad A_{ij}=\varphi_j(x_i),\qquad Ac\approx y

Vad gör formeln?: Bygger det överbestämda systemet genom att utvärdera modellens basfunktioner i mätpunkterna.
När får den användas?: Basfunktionerna är kända och parametrarna ingår linjärt; antalet mätpunkter överstiger antalet parametrar.

Normalekvationerna

A^{T}A\widehat{c}=A^{T}y

Vad gör formeln?: Ger det kvadratiska system vars lösning minimerar residualens längd i ett överbestämt system.
När får den användas?: Kolumnerna i A är linjärt oberoende, vilket gör produkten inverterbar och minstakvadratlösningen entydig.

Residualvektor och minstakvadratfel

r=y-A\widehat{c},\qquad \|r\|_2=\sqrt{\sum_{i}r_i^{2}}

Vad gör formeln?: Mäter avvikelsen mellan mätdata och anpassad modell, punkt för punkt och sammanfattat i en norm.
När får den användas?: Residualen beräknas med den anpassade parametervektorn och har en komponent per mätpunkt.

Linjarisering av exponentiell modell

y=Ce^{kx}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln y=\ln C+kx

Vad gör formeln?: Logaritmerar en exponentiell modell så att parametrarna ingår linjärt och kan anpassas med normalekvationerna.
När får den användas?: Kräver positiva mätvärden, eftersom logaritmen annars inte är definierad.

Hänger ihop med

Förkunskap

Linjära ekvationssystemGausseliminering och LU-faktorisering, konditionstal och felförstärkning samt hur beräkningsarbetet växer med antalet obekanta.

Kan du använda minstakvadratmetoden?

Lös en riktig tentauppgift från SF1522 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift