Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
2. Icke-linjära ekvationer

Icke-linjära ekvationer

Lös skalära ekvationer med bisektion, fixpunktsiteration, Newton-Raphsons metod och sekantmetoden, och avgör när iterationen konvergerar.

Översikt

Kärnan i icke-linjära ekvationer

En ekvation som inte går att lösa exakt skrivs om till en iteration som förbättrar en startgissning steg för steg. Newton-Raphsons metod linjäriserar funktionen i varje punkt.

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Exempel

Metod och kontroll

Varje iteration kan skrivas som en fixpunktsform, och derivatans belopp i fixpunkten avgör om följden dras mot roten eller drivs bort från den.

xn+1=g(xn),∣g′(α)∣<1x_{n+1}=g(x_n),\qquad |g'(\alpha)|<1

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Samma ekvation kan skrivas om till flera olika fixpunktsformer, och alla konvergerar inte. Kontrollera villkoret i den sökta roten innan iterationen startas, och lita inte på att en metod med snabbare konvergens nära roten också hittar rätt rot från en dålig startgissning.

Formler i området

Newton-Raphsons metod

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Vad gör formeln?
Ersätter funktionen med sin tangent i varje punkt och tar tangentens nollställe som nästa approximation.
När får den användas?
f är deriverbar nära roten, derivatan är skild från noll i iterationspunkterna och startgissningen ligger tillräckligt nära.

Sekantmetoden

xn+1=xn−f(xn) xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+1}=x_n-f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
Vad gör formeln?
Byter Newtons tangent mot sekanten genom de två senaste punkterna och slipper därmed derivatan.
När får den användas?
Kräver två startvärden och att funktionsvärdena i dem är olika, så att nämnaren inte blir noll.

Fixpunktsiteration

xn+1=g(xn),α=g(α)x_{n+1}=g(x_n),\qquad \alpha=g(\alpha)
Vad gör formeln?
Skriver om ekvationen så att roten är en fixpunkt och itererar funktionen från en startgissning.
När får den användas?
Ekvationen skrivs om så att den sökta roten är en fixpunkt till iterationsfunktionen g.

Fixpunktsiterationens konvergensvillkor

∣g′(α)∣<1,∣en+1∣≈∣g′(α)∣ ∣en∣|g'(\alpha)|<1,\qquad |e_{n+1}|\approx|g'(\alpha)|\,|e_n|
Vad gör formeln?
Avgör om en fixpunktsform konvergerar och hur snabbt felet då minskar per steg.
När får den användas?
Villkoret är lokalt: det garanterar konvergens för startgissningar tillräckligt nära fixpunkten α.

Bisektionsmetodens felgräns

∣xn−α∣≤b−a2n,n≥log⁡2 ⁣(b−aε)|x_n-\alpha|\le\frac{b-a}{2^{n}},\qquad n\ge\log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)
Vad gör formeln?
Ger en garanterad felgräns efter n halveringar och antalet steg som krävs för en given tolerans.
När får den användas?
f är kontinuerlig på intervallet och byter tecken mellan ändpunkterna, så att en rot är innesluten.

Hänger ihop med

Kan du använda icke-linjära ekvationer?

Lös en riktig tentauppgift från SF1522 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift