Uppgift 14

Två personer (oberoende av varandra) kastar varsin rättvisa sexsidiga tärning tills de båda får en 6:a. (a) Vad är sannolikheten att dessa två personer måste kasta tärningen lika många gånger? (4 p) Ledning: $$\sum_{k=0}^{\infty} x^{k} = \frac{1}{1 - x}, \qquad \text{om } 0 < x < 1$$ (b) Vad är sannolikheten att den ena personen måste kasta sin tärning dubbelt så många gånger som den andra personen? (4 p) (c) (Fortsättning på (a)) Antag att vi har $m$ personer, $m \ge 2$. Sannolikheten att det måste kastas lika många gånger för samtliga dessa personer tills dom alla får en 6:a kan skrivas på formen $\frac{1}{k^{m} - (k - 1)^{m}}$, där $k$ är ett positivt heltal. Bestäm $k$ och redogör för att det stämmer för $m = 3$. (2 p)