Uppgift 15

I ett avancerat växthus utförs ett experiment för att avgöra om mängden belysning påverkar hur mycket jordgubbar växer. Belysningen mäts med hjälp av ett belysningsindex och jordgubbarnas vikt mäts i gram. De första fyra erhållna observationerna följer nedan. $$\begin{array}{l|cccc} \text{Belysningsindex} & 5 & 10 & 10 & 15\\ \hline \text{Jordgubbsvikt (g)} & 20 & 26 & 34 & 40 \end{array}$$ Det är rimligt att tro att det föreligger ett linjärt samband mellan variablerna. Utifrån datamaterialet ovan skattas en linjär regressionsmodell $$y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$$ där $y_i$ = jordgubbsvikt (g) beror av $x_i$ = belysningsindex och $\varepsilon_i \in N(0, \sigma)$ betecknar slumpmässiga fel, $i = 1, \ldots, 4$, och $\sigma$ är okänd. Minsta-kvadrat-skattningarna av regressionskoefficienterna $\alpha$ och $\beta$ blev $\alpha^{*}_{\text{obs}} = 10$ respektive $\beta^{*}_{\text{obs}} = 2$. Bestäm $I_\beta(0.95)$, dvs ett 95% konfidensintervall för $\beta$, den effekt som belysningindex har på jordgubbsvikten. Är effekten signifikant på 5% nivån? På 10% nivån? Motivera. (10 p)