Uppgift 15

Antal telefonsamtal som kan göras samtidigt till en telefonist vid en växelstation kan uppfattas som en stokastisk variabel $X$ med täthetsfunktionen $$f_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{om } x < 0.\\[8pt] \dfrac{x^{3}e^{-x/\beta}}{6\beta^{4}} & \text{om } x \ge 0 \end{cases}$$ Man kan visa att $E(X) = 4\beta$ och $E(X^{2}) = 20\beta^{2}$. En fördelning av denna typ kallas ibland för en Erlangfördelning. Antag att vi har $n$ observationer $x_1, \ldots, x_n$ på antal telefonsamtal till oberoende telefonister. Dvs $x_1, \ldots, x_n$ uppfattas som utfall av oberoende stokastiska variabler med ovanstående fördelning, där $\beta$ är en positiv men i övrigt okänd parameter. Härled ML-skattningen $\beta^{*}_{\text{obs}}$ av $\beta$ och bestäm sedan medelfelet för denna skattning om vi fått utfallen $x_1 = 4$, $x_2 = 5$, $x_3 = 1$ och $x_4 = 10$ (dvs utgående från dessa fyra obersvationer). (10 p)