Uppgift 16

Ett sjukhus ska placeras ut i ett kvadratiskt samhälle. Samhället representeras av $$K = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 1\}$$ där punkten $(0, 0)$ motsvarar samhällets sydvästra hörn. Gatusystemet är beskaffat så att man endast kan färdas parallellt med koordinataxlarna. På grund av faktorer som t ex befolkningstäthet antas antalet olyckor öka linjärt i både x- och y-led. Platsen $(X, Y)$ för en olycka kan därför beskrivas med en tvådimensionell kontinuerlig stokastisk fördelning vars täthetsfunktionen är $$f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 4xy, & 0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 1,\\[4pt] 0, & \text{för övrigt} \end{cases}$$ (a) Vad är den förväntade utryckningssträckan för ambulansen (dvs sträckan från olyckplatsen till sjukhuset), om sjukhuset placeras i samhällets sydvästra hörn (dvs i punkten $(0, 0)$)? (3 p) (b) Bestäm den placering av sjukhuset, dvs punkten $(a, b) \in K$, som minimerar den förväntade utryckningssträckan. (7 p)