Uppgift 4

Betrakta vågekvationen

$$a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2u}{\partial t^2},\qquad 0<x<L,\ t>0,\ a>0\mathpunct{,}$$

med randvillkoren $u(0,t)=u(L,t)=0$. Det får antas att lösningar som uppfyller randvillkoren kan skrivas

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos\frac{n\pi a}{L}t+B_n\sin\frac{n\pi a}{L}t\right)\sin\frac{n\pi}{L}x\mathpunct{.}$$

Beräkna lösningen som dessutom uppfyller

$$u(x,0)=0,\qquad u_t(x,0)=\begin{cases}0,&0<x<L/2,\\1,&L/2\le x<L.\end{cases}$$