Uppgift 6

Betrakta en enkel sluten kurva $C$ i planet (positiv orienterad) med $p\ \text{och}\ q$ två punkter innanför $C$. Låt $f$ vara en given funktion, som är två gånger deriverbar i $\mathbf{R}^{2}\setminus\{p,q\}$ och $\Delta f=0$ i $\mathbf{R}^{2}\setminus\{p,q\}$. Anta vidare att $$\int_{C_{p}}-f_{y}dx+f_{x}dy=A,\qquad\int_{C_{q}}-f_{y}dx+f_{x}dy=2A$$ där $A$ är ett reellt tal, och $C_{p},C_{q}$ är två cirklar med cnetrum i $p$, respektive $q$ och med godtycklig radie (positiv orienterade). Observera att vi har antagit att $A$ är oberoende av radien.

Bestäm linjeintegralen $\int_{C}-f_{y}dx+f_{x}dy$ uttryckt i talet $A$.