Uppgift 4

Masscentrum av en kropp $K$ med densitet $\rho$ är punkten $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$ där $$\overline{x}=\frac{\iiint_{K}x\rho\,dV}{\iiint_{K}\rho\,dV}\quad\text{och}\quad\overline{y}=\frac{\iiint_{K}y\rho\,dV}{\iiint_{K}\rho\,dV}\quad\text{och}\quad\overline{z}=\frac{\iiint_{K}z\rho\,dV}{\iiint_{K}\rho\,dV}$$ Beräkna masscentrum för halvklotet $K$ som ges av olikheterna $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1$ och $z\ge 0$ om dess densitet ges av $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.