Uppgift 6

För ett heltal $n\ge0$, låt $P_n$ vara vektorrummet av alla polynom av grad högst $n$. Betrakta avbildningen $T_n\colon P_n\to P_n$ som ges av $T_n(p(x))=(x+2)p'(x)$ för alla $p(x)$ i $P_n$, där $p'(x)$ betecknar derivatan av $p(x)$. (a) Visa att $T_n$ är en linjär avbildning för alla $n\ge0$. (b) Bestäm dimensionen för nollrummet $\ker(T_n)$ och dimensionen för bildrummet $\operatorname{ran}(T_n)$ för alla $n\ge0$. (c) Bestäm alla egenvärden till $T_n$ för alla $n\ge0$.