Uppgift 6

Låt $\mathbf u$ vara en enhetsvektor i $\mathbb R^3$ och låt den linjära avbildningen $L$ vara definierad genom $L(\mathbf x)=\mathbf u\times\mathbf x$. Givet en ON-bas $B$ i $\mathbb R^3$, låt $A_B$ vara avbildningsmatrisen till $L$. Definiera en ny linjär avbildning, $S_B$, som i samma bas ges av matrisen $A_B^{\mathsf T}A_B$. Syftet med uppgiften är att beskriva $S_B$ för alla val av ON-baser $B$. a). Börja med att välja en ON-bas $B$ vars första basvektor är $\mathbf u$. Beskriv motsvarande avbildning $S_B$ geometriskt. b). Visa att samma geometriska beskrivning gäller om vi definierar $S_B$ med hjälp av en valfri ON-bas i $\mathbb R^3$.