Uppgift 6

Om $A$ är en reell symmetrisk $3\times3$-matris låt $q_A(\mathbf x)=\mathbf x^TA\mathbf x$ vara den associerade kvadratiska formen. (a) Låt $\lambda$ vara ett egenvärde till $A$ och $\mathbf v$ en motsvarande egenvektor som är normaliserad så att $\lVert\mathbf v\rVert=1$. Bestäm $q_A(\mathbf v)$. (b) Antag att det minsta egenvärdet till $A$ är $1$. Bevisa att $q_A(\mathbf x)\ge1$ för varje enhetsvektor $\mathbf x$ dvs $\lVert\mathbf x\rVert=1$.