Uppgift 4

Följande två vektorer är givna: $$\mathbf v_1=\frac13\begin{bmatrix}2\\-1\\-2\end{bmatrix},\quad\mathbf v_2=\frac{\sqrt2}{2}\begin{bmatrix}-1\\0\\-1\end{bmatrix}$$. (a) Hitta en vektor $\mathbf v_3$ så att $\mathbf v_1,\mathbf v_2\text{ och }\mathbf v_3$ bildar en ortonormal bas $\mathcal B$ för $\mathbb R^3$. (b) Låt $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ vara den linjära transformationen som avbildar $T(\mathbf v_1)=\mathbf v_3\text{ och }T(\mathbf v_3)=\mathbf v_1$ och har $\mathbf v_2$ som en egenvektor med egenvärdet $\lambda=-5$. Bestäm matrisen för avbildningen med avseende på basen $\mathcal B$ dvs $[T]_{\mathcal B}$.