Uppgift 1

Givet funktionen

$f(x) = sin(αx) + sin(βx²)$.

Konstanterna α och β ska bestämmas så att f interpolerar de två datapunkterna (1, 0.5) och (2, 1), dvs f skall satisfiera $f(1) = 0.5$ och $f(2) = 1.$ Problemet leder till följande icke-linjära ekvationssystem för α och β,

$sin(α) + sin(β) = 0.5,$ $sin(2α) + sin(4β) = 1.$

(a) Antag att α och β är små, så att approximationen sin(x) ≈ x är giltig. Använd denna för att hitta startgissningar för α och β.

(b) Skriv ett MATLAB-program som implementerar Newtons metod för system och beräknar värden på α, β med ett fel mindre än 10⁻¹⁰.

(c) Fler datapunkter tillkommer:

Konstanterna α och β ska nu istället bestämmas så att felkvadratsumman

Σⱼ₌₁⁶ |f(xⱼ) − yⱼ|²,

minimeras. Modifiera ditt MATLAB-program i deluppgift (b) så att det beräknar dessa konstanter.