Uppgift 2

Två massor av olika storlek hänger från taket, ihopkopplade med fjädrar som i bilden till höger. Deras vertikala positioner x och y bestäms då av de ordinära differentialekvationerna

x″ = −$2x + y$ − 1, y″ = −ηy′ + ($1/2$)(x − y) − 1,

där η är en friktionskoefficient för den undre fjädern. Vid $t = 0$ släpps massorna från vila i läget x = −1.5 och $y = 0,$ varför

x(0) = −1.5, x′(0) = $y(0) = y$′(0) = 0.

Vi vill beräkna massornas rörelse x(t) och y(t).

(a) Skriv om ekvationerna som ett system av första ordningens differentialekvationer på formen

u′ = F(t, u), $u(0) = u$₀.

I ditt svar ska det klart framgå vad u, F(t, u) och u₀ är.

(b) Skriv ett MATLAB-program som beräknar x(t) och y(t) fram till $t = 20$ med η = 0.05. Programmet ska använda Framåt Euler-metoden. Det ska skriva ut x(20) och y(20).

(c) Utöka ditt program med kod som räknar ut hur lång sträcka massorna (totalt) rört sig efter 20 tidsenheter, genom att beräkna integralerna

L₁ = ∫₀²⁰ |x′(t)|dt, L₂ = ∫₀²⁰ |y′(t)|dt.

Not: Du får inte använda inbyggda MATLAB-funktioner för integralberäkning.

(d) Beskriv hur man kan gå tillväga för att uppskatta det numeriska felet i approximationen av L₁ och L₂.

(e) När friktionskoefficienten η är stor blir systemet styvt och man behöver använda en implicit ODE-metod istället för Framåt Euler. Välj en implicit metod och modifiera ditt MATLAB-program i deluppgift (b) så att det använder denna metod för att beräkna x(t) och y(t) fram till $t = 20.$