Uppgift 6

6a. En av funktionerna

$$g_1(x)=x,\quad g_2(x)=x^2,\quad g_3(x)=x+x^2,\quad g_4(x)=\cos x$$

är ortogonal mot $f(x)=\cos x$ på intervallet $[-1,1]$. Vilken? Motivera ditt svar.

6b. Vilket värde antar Fourierserien

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x))$$,

där $$a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\qquad b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx$$, av funktionen $f(x)=x^2+x$ i punkten $x=\frac12$.

6c. Vilket värde antar Fourierserien i uppgift 6b i punkten $x=1$?