Uppgift 6

Bestäm Fouriertransformen i x-led

$$U(\alpha,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-i\alpha x}\,dx$$

till lösningen av värmeledningsekvationen

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\qquad -\infty<x<\infty,\quad t>0$$,

$$u(x,0)=f(x),\qquad -\infty<x<\infty$$.

Begynnelsetemperaturen ges av

$$f(x)=\begin{cases}x,&\text{för }0<x<1,\\0,&\text{annars.}\end{cases}$$

Det får användas att derivatan av ordning $n$ av en funktion, $g^{(n)}$, har Fouriertransform $(i\alpha)^nG(\alpha)$, där $G$ är Fouriertransformen av $g$.