Uppgift 8

8a. Visa att systemet av differentialekvationer

$$\begin{aligned}x'(t)&=-ax(t)+x(t)y(t),\\ y'(t)&=1-x(t)^2-by(t),\end{aligned}$$,

där $a\text{ och }b$ är konstanter som uppfyller $a>1,\ b>1$, har precis en kritisk punkt (jämviktslösning). (Vi betraktar endast reellvärda lösningar till systemet av differentialekvationer.) Bestäm denna kritiska punkt.

8b. För varje par av koefficienter $a\text{ och }b$ som uppfyller $a>1,\ b>1$, avgör om den kritiska punkten är stabil eller instabil.