Uppgift 6

Explicita mittpunktsmetoden är en numerisk metod för att lösa initialvärdesproblem av formen $y'(t)=f(t,y(t))$ för $t\in[a,b]$, $y(a)=y_{0}$. Iterationerna definieras genom att först diskretisera intervallet $I=[a,b]$ med punkterna $t_{k}=a+hk$ där $k=0,1,\ldots,n$ för något positivt heltal $n$ och $h:=\tfrac{b-a}{2n}$. Sedan beräknas $w_{k}\approx y(a+2hk)$ som $w_{0}:=y_{0}$, $s_{1,k-1}:=f(t_{k-1},w_{k-1})$ för $k=1,2,\ldots,n$. $w_{k}:=w_{k-1}+2h\,f(t_{k-1}+h,\ w_{k-1}+h\,s_{1,k-1})$. Man kan nu visa att den explicita mittpunktsmetoden har noggrannhetsordning 2 och att dess stabilitetsområde ges av $h\lambda\in\mathbb{C}$ där $|P(h\lambda)|<1$ med $P(z):=1+2z+2z^{2}$ för $z\in\mathbb{C}$. Ledning: Stabilitetsområdet anger kriterier som garanterar att den numeriska lösningen av ett testproblem är samma som den analytiska lösningen då $t\to\infty$. Testproblemet som avses är initialvärdesproblemet $y'(t)=\lambda y(t)$ med $y(0)=1$ där $\lambda\in\mathbb{C}$ har negativ real-del, så vi vet att $y(t)\to 0$ då $t\to\infty$.