Uppgift 9

Antag att temperaturen $u(x,t)$ i positionen $x$ vid tiden $t$, i en oändligt lång stav, uppfyller $\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}=\frac{d^{2}}{dx^{2}}e^{-x^{2}/2}$, $-\infty<x<\infty$, $t>0$, $\lim_{x\to\pm\infty}u(x,t)=0$, $t>0$, $u(x,0)=0$, $-\infty<x<\infty$. Bestäm $u(x,t)$. (Tips: Man kan, utan att bevisa det, använda att Fouriertransformen av $f(x)=e^{-x^{2}/2}$ är $F(\alpha)=\sqrt{2\pi}e^{-\alpha^{2}/2}$, och att Fouriertransformen av $f(cx)$ ges av $|c|^{-1}F(\alpha/c)$.)