Uppgift 9

En del partiella differentialekvationer (PDE) med lämpliga randvillkor går att lösa analytiskt med separation av variabler. Ett sådant exempel är värmeledningsekvationen nedan $4\tfrac{\partial u}{\partial t}(x,t)=\tfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(x,t)$ för $x\in[0,2]$ och $t>0$, $u(0,t)=0$ för $t>0$, $u(2,t)=0$ för $t>0$, $u(x,0)=f(x)$ för $x\in[0,2]$. Funktionen $f:[0,2]\to\mathbb{R}$ ovan definierar initialvillkoren. Separation av variabler innebär att man ansätter en lösning till PDEn på formen $u(x,t)=X(x)T(t)$ där $X:[0,2]\to\mathbb{R}$ och $T:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ skall vara funktioner som inte är noll överallt. Härled randvärdesproblemet som $X$ uppfyller och ta även fram alla icke-triviala lösningar till denna. För det sistnämnda kan man med fördel dra nytta av lösningen till uppgift 5.