Uppgift 6

b)Bestäm lösningen $u(x,t)$ till värmeledningsekvationen med värmeledningskonstant $\alpha=1$ och givna randvillkor och begynnelsevillkor $\tfrac{\partial u}{\partial t}=\tfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\ 0<x<\pi,\ t>0,\ u(0,t)=0,\ u(\pi,t)=0,\ t>0,\ u(x,0)=x-\pi/2,\ 0<x<\pi$, som en Fourierserie.(10 p)

c)Vi betraktar nu värmeledningsekvationen där stången också värms upp av en extra värmekälla: $\tfrac{\partial v}{\partial t}=\tfrac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+x^{2},\ 0<x<\pi,\ t>0,\ v(0,t)=0,\ v(\pi,t)=0,\ t>0,\ v(x,0)=x-\pi/2,\ 0<x<\pi$. Bestäm temperaturen $v(x,t)$. Den exakta lösningen söks, dvs. en numerisk lösning godkänns ej. I lösningen till uppgift 6c får Fourierkoefficienter anges som integraler utan att dessa behöver beräknas.(7 p)