Uppgift 8

Betrakta ekvationssystemen $Ax=b\ \text{och}\ A(x+\Delta x)=b+\Delta b$, där $x,\Delta x,b,\Delta b\in\mathbb{R}^2$. Antag att $A=\begin{bmatrix}a_1&0\\0&a_2\end{bmatrix}$, och att man vill maximera kvoten $\tfrac{a_1}{a_2}$, där $a_1>a_2$. Man vill att det relativa felet $\|\Delta x\|_\infty/\|x\|_\infty$ maximalt ska anta värdet $10^{-5}$ och att den maximala relativa störningen $\|\Delta b\|_\infty/\|b\|_\infty$ är $10^{-7}$. Vilka värden på $a_1$ och $a_2$ maximerar kvoten $\tfrac{a_1}{a_2}$ och ger ett relativt fel inom den önskade felgränsen?